GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas.

Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).

La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.

Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

Geometría analítica

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

VECTORES

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.nota 1 Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.nota 2 Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.nota 3 El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).nota 4 Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

 

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.nota 5 En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.nota 6

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920nota 7 y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

TRIGONOMETRÍA

El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego "trigonos" (triángulo) y "metros" (metria).Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

Para medir ángulos se pueden utilizar tres unidades de medida: grados sexagesimales, centesimales y radianes.

En los grados sexagesimales, un ángulo recto tiene 90 grados, un grado sesenta minutos y un minuto sesenta segundos.

En los grados centesimales, un ángulo recto tiene 100 grados, un grado 100 minutos y un minuto 100 segundos.

En los radianes se utiliza la longitud del arco como medida del ángulo. La unidad es por lo tanto el radio de la circunferencia.

Un radian es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio.

           

ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

ECUACIONES LINEALES
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x + ax = b x + ax + bx = 0
donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón. Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:
"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24
La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta. Supongamos que fuera 7 la solución, al sustituir en la x nos daría:7 + 1/7 · 7 = 8, y como nuestra solución es 24, es decir, 8·3, la solución es 21 = 3 · 7 , ya que 3 · (7 + 1/7 - 7) = 24. Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente. Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado. Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60. Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:

ECUACIONES NO LINEALES

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28
y + x = 1

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 .

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.

Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

NÚMEROS REALES

Los babilónicos fueron los primeros que utilizaron el cero para los cálculos matemáticos. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos:

• En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.
• En Egipto mediante jeroglíficos.
• En Grecia, las letras de su alfabeto.
• En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C = 100; D=500; M= 1000.
• Nuestro sistema de numeración actual que lo introdujeron los árabes y es de origen Hindú es:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. 

Ya en los papiros egipcios, como el de Rhind, aparecen ejemplos del uso de las potencias y de extracciones correctas de las raíces cuadradas.En las tablillas mesopotámicas existen tablas de cuadrados, de raíces cuadradas, de cubos y de raíces cúbicas de números naturales.

Los griegos clasificaron algunos números según sus propiedades. Los más importantes son los números triangulares y los cuadrados, aunque también distinguieron entre numeros perfectos ( cuando es igual a la suma de sus divisores sin incluir el propio número), abundante ( si es mayor que la suma de sus divisores), defectuoso ( si es menor que la suma de sus divisores), amigos ( cuando cada uno coincide con la suma de los divisores del otro) , primos y compuestos.

Eratóstenes de Cirene ( 276 - 194 a . C.) estudió los números primos y compuestos e ideó un método para encontrar los números primos llamado criba de Eratóstenes).

Fermat matemático del siglo XVII fue el creador de la moderna teoría de números.

Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.

Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su abreviatura m.

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.

A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc.,  pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los númers decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.