FUNCIONES LIMITES Y CONTINUIDAD

Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a conocerse un siglo despúes, y el limite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego limites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por numeros o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmenet se conoce, pues siete años despúes, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó:''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. esta denominación es bastante natural y comprende cada metodo mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. asi, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma estan determinadas por x y se les llama funciones de x''.

En la historia de las matemáticas se le dan creditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, asi como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilonica, la egipcia y la china.

Antes de Euler, el matemático y filosofo francés Rene Descartes(1596-1650) mostró en sus trabajos de geometria que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan.

Sea la función f de un conjunto A en un conjunto B notada f.A-B es una ley que asocia a cada elemento de A, exactamente un elemento de B; el conjunto A se denomina DOMINIO DE LA FUNCION, el conjunto B se denomina CODOMINIO y los elementos de B que estan asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado RECORRIDO O RANGO DE LA FUNCION. Si x es un elemento del dominio, la notación f(x) se utiliza para designar el elemento que en el recorrido coresponde a x en la función f, y se denomina VALOR DE LA FUNCIÓN EN x o imagen de x por f.

Dado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por  .

Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagrama sagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede hacer lo mismo para una funcion, luego Dom(f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que el elemento 5 del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no esta relacionado con ningun elemento de X. A los elementos del rango de una función también se les suele llamar conjunto de imagenes de la función, luego 1 es imagen de 1, mediante la función F, o tambien se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediante la función F, es decir, 8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir, 27=f(3).

En muchas ocasiones algunas frases conducen de manera intuitiva a la definición de limite, tales como: “Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”, “f(x) se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hasta principios del siglo. Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva de límite necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y simples gráficas. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un método para definir los límites si hacer alusión a lo anterior. Desde entonces este método ha sido usado tanto por matemáticos puros y aplicados  Weierstrass.


Definición de límite de f(x) en a informal.

Sea f(x)  una función y a un número fijo.

Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún número  c<a y algún número b>a, como en la figura (G.1).


Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es equivalente a decir que existe tanto el limite de la función tanto por la izquierda como por la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.

Lo cual se representa de la siguiente forma: