TEMA 13. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
-Estadistica unidimensional.
-Covarianza bidimensionales
-Correlacion
-Coeficiente de correlacion lineal
-Coeficiente de determinación
TEMA 15. PROBABILIDAD
-Operaciones con
sucesos
Inclusión e igualdad de sucesos
Un suceso 
está incluido (o contenido) en otro suceso 
si todo suceso elemental perteneciente a
, pertenece también a .
Esta inclusión se representa por 
.
está incluido (o contenido) en otro suceso
si todo suceso elemental perteneciente a
, pertenece también a .
Esta inclusión se representa por .
Dos sucesos
y
son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Ocurre que: y 
. Se representa por: 
.
y
son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Ocurre que: y . Se representa por: .
Unión de
sucesos
Si tenemos dos sucesos
y
de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso
unión de
y
al suceso que se realiza cuando lo hacen
o .
Se representa por 
.
y
de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso
unión de
y
al suceso que se realiza cuando lo hacen
o .
Se representa por .
Intersección
de sucesos
Si tenemos dos sucesos
y
de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso
intersección de
y
al suceso que se realiza cuando lo hacen
y .
Este suceso intersección está formado por todos los sucesos elementales que
pertenecen a
y a , al mismo tiempo. Se representa por 
.
y
de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso
intersección de
y
al suceso que se realiza cuando lo hacen
y .
Este suceso intersección está formado por todos los sucesos elementales que
pertenecen a
y a , al mismo tiempo. Se representa por .
Cuando 
es el suceso imposible, es decir, no hay ningún suceso elemental que pertenezca
a A y a B al mismo tiempo, decimos que los sucesos
y
son incompatibles. Su intersección, como conjuntos, es igual al conjunto vacío.
(
)
es el suceso imposible, es decir, no hay ningún suceso elemental que pertenezca
a A y a B al mismo tiempo, decimos que los sucesos
y
son incompatibles. Su intersección, como conjuntos, es igual al conjunto vacío.
()
En caso contrario, es decir, si la intersección es no vacía,
decimos que
y
son compatibles.
y
son compatibles.
Sucesos contrarios
Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el suceso imposible (conjunto vacío), decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.
Para un suceso cualquiera
de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso
al suceso que se verifica cuando no se verifica , y viceversa. Se representa por
.
de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso
al suceso que se verifica cuando no se verifica , y viceversa. Se representa por
.
En cualquier espacio muestral, obtenido de la realización de
un experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las
propiedades más significativas de los sucesos contrarios son:
donde 
representa
el suceso seguro, compuesto por todos los sucesos elementales del espacio
muestral.
representa
el suceso seguro, compuesto por todos los sucesos elementales del espacio
muestral.
2.
probabilidad condicionada
Cuando se producen sucesos estocásticos consecutivamente de un espacio
muestral, pueden darse dos tipos genéricos de situaciones:
·
Los sucesos son independientes entre sí, de manera que no influyen
uno en el otro.
·
Cada suceso está condicionado por el resultado del anterior.
Cuando un suceso A influye en el resultado de un segundo suceso B,
se dice que la probabilidad de éste es una probabilidad condicionada, expresado como P (B /
A), cuyo valor es:
El suceso A no puede ser un suceso imposible, pues sería P
(A) = 0.
3. probabilidad compuesta
Se llama experimento aleatorio compuesto al que resulta de la realización de
varios experimentos aleatorios simples. En general, a un experimento compuesto
se asocia una probabilidad compuesta, también llamada probabilidad
producto y
expresada como P (A Ç B) o,
simplemente, P (AB). Según la definición de probabilidad condicionada, el valor
de la probabilidad compuesta por dos experimentos simples dependientes viene
dado por:
Diagrama de árbol
relativo al experimento compuesto que consiste en lanzar tres veces una moneda
al aire.
En el caso particular de que los sucesos del experimento compuesto
sean independientes, se cumple que P (A Ç B) = P (A) × P (B). Cuando el experimento compuesto
corresponde a tres experimentos simples, la fórmula se transforma en:
Si A, B y C son dependientes:P (A Ç B Ç C) = P (ABC) = P
(A) × P (B/A) × P (C/A Ç B)Si A, B y C son
independientes: P (A Ç B Ç C) = P (A) × P (B) × P (C)
4. Probabilidad total
Cuando los sucesos
elementales de un experimento no se refieren a todo el espacio muestral sino a
algún subconjunto del mismo, el cálculo de probabilidades se hace más complejo.
Un ejemplo típico de este problema es el experimento consistente en sacar bolas
de tres bolsas distintas, de manera que en cada bolsa existe una distribución
de bolas diferente. ¿Cuál sería la probabilidad de que una bola extraída sea de
un determinado color?
En estos casos se recurre al llamado teorema de la probabilidad
total, según el cual si se parte el espacio muestral E en un
conjunto de n sucesos incompatibles A1, A2, ¿, An, donde E = A1 È A2 È ¿ È An, y se analiza un
suceso cualquiera B, conocidas todas las probabilidades de A1, A2, ¿, An y las
probabilidades condicionadas de B con respecto a cada uno de estos sucesos
incompatibles, se puede deducir:
Ejemplo del diagrama de
árbol correspondiente a un experimento que consiste en sacar una bola roja (R)
de una de estas tres bolsas: la primera bolsa tiene 2 bolas rojas y 3 negras;
la segunda bolsa, 3 bolas rojas y 7 negras, y la tercera bolsa, 4 bolas rojas y
4 negras.
5. Teorema de Bayes
Cuando se calcula la probabilidad de un fenómeno después de que
éste se haya producido, se habla de probabilidad a posteriori. Por ejemplo, supóngase que en el
experimento de la extracción de una bola de entre varias bolsas se sabe que se
ha sacado una bola roja; ahora bien, ¿de qué bolsa procede? La respuesta se
obtiene de la ley de la probabilidad a posteriori.
Si se divide el espacio muestral E en un conjunto de n sucesos
incompatibles A1, A2,
..., An, donde E = A1 È A2 È ¿ È An, y se considera un suceso cualquiera B, conocida la
probabilidad de B (que ha de ser distinta de cero), la probabilidad a posterioripara
cada Ai (con
i = 1, 2, ¿, n) se obtiene mediante el llamado teorema
de Bayes:
TEMA 16.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
-Distribucion
binomial
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la
misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la
probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3.
Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
-Funcion de densidad
Ejemplo 1: Encuentre función densidad de
probabilidad con el,
media m = 5
La desviación estándar s = 2
Variable aleatoria normal x = 10
Paso 1: Para calcular la raíz cuadrada PDF encontrar (2π).
sqrt (2π) = sqrt (2 x 3.14)
= Raíz cuadrada (6,28) = 2,51
Paso 2: Encuentra 1 / (σsqrt (2π)).
σsqrt (2π) = 2 x 2,51 = 5,02
1 / (σsqrt (2π)) = 1/5.02 = 0,199
Paso 3: Buscar e - (XM) 2 / (2σ 2) calcular - (XM) 2 y 2 2σ.
- (XM) 2 = - (5.10) 2
= 5 2 = 25
2σ 2 = 2 x (2 2)
= 2 x 4 = 8
- (XM) 2 / (2σ 2) = 25/8
= 3,125
Paso 4: Calcular e - (XM) 2 / (2σ 2)
= 2.718 3.125 = 22,75
Paso 5: Para encontrar la fórmula se utiliza PDF.
= 0,199 x 22,75 = 4,53
media m = 5
La desviación estándar s = 2
Variable aleatoria normal x = 10
Paso 1: Para calcular la raíz cuadrada PDF encontrar (2π).
sqrt (2π) = sqrt (2 x 3.14)
= Raíz cuadrada (6,28) = 2,51
Paso 2: Encuentra 1 / (σsqrt (2π)).
σsqrt (2π) = 2 x 2,51 = 5,02
1 / (σsqrt (2π)) = 1/5.02 = 0,199
Paso 3: Buscar e - (XM) 2 / (2σ 2) calcular - (XM) 2 y 2 2σ.
- (XM) 2 = - (5.10) 2
= 5 2 = 25
2σ 2 = 2 x (2 2)
= 2 x 4 = 8
- (XM) 2 / (2σ 2) = 25/8
= 3,125
Paso 4: Calcular e - (XM) 2 / (2σ 2)
= 2.718 3.125 = 22,75
Paso 5: Para encontrar la fórmula se utiliza PDF.
= 0,199 x 22,75 = 4,53
-Distribucion normal
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:
El área del
recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje
que pasa por x = µ,
deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra
igual a 0.5 a
la derecha.
La
probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
-Tipificacion de
una variable
-Aproximacion de la binomial a la normal
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