TENA 10 DERIVADAS

1.      Tasa de variación instantanea

tasa de variación instantánea de f(x) en x = a (o velocidad de cambio instantáneo de f(x) en x = a), es:

2.      Derivada de una funcion en un punto

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

3.      Tipos de derivadas

4.      derivadad de una funcion compuesta. Regla de la cadena

 La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la derivada de una función compuesta se conoce como "Regla de la cadena".

 Regla de la cadena:

F http://usuarios.multimania.es

5.      Crecimiento y decrecimiento

 Sea f una función derivable.

Diremos que una función y=f(x) es CRECIENTE en x_o cuando existe un entorno de x_o tal que: 

·         si x£x_o entonces f(x)£f(x_o) y si x_o£x entonces f(x_o)£f(x)

Si una función es derivable y creciente en x_o entonces f'(x_o) ³ 0

Diremos que una función y=f(x) es DECRECIENTE en x_o cuando existe un entorno de x_o tal que: 

·         si x£x_o entonces f(x)³f(x_o) y si x_o£x entonces f(x_o)³f(x)

Si una función es derivable y decreciente en x_o entonces f'(x_o) £ 0

·         Si f'(x_o)>0, entonces f es creciente en x_o

·         Si f'(x_o)<0, entonces f es decreciente en x_o 

6.      Optimizacion

Ejemplo en la que se usa la derivada para optimizar

1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x²+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 , 

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

                   f

                   f ´               +       200    -

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)²+0,8.200-5=75 euros

Solución gráfica